EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (EBOB) :
İki ya da daha fazla doğal sayının ortak bölenlerinin en
büyüğüne ebob
denir.
A ve B sayılarının EBOB’u, Ebob(A,B) şeklinde gösterilir.
İki veya daha fazla doğal sayının EBOB’unu bulmak için iki farklı yol vardır.
Birinci
Yol: Sayıların bölenleri karşılarına
yazılır. Daha sonra karşılaştırma yapılıp ortak olanlar belirlenir ve büyük
olan, bu sayıların EBOB’udur.
24’ün pozitif tam bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
36’nın pozitif tam bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18,
36
Ebob(24,36) = 12
32’nin pozitif tam bölenleri 1, 2, 4, 8, 16, 32
40’ın pozitif tam bölenleri 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
48’in pozitif tam bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12,
16, 24, 48
Ebob(32,
40, 48) = 8
Şimdi siz de aynı şekilde verilen sayıların EBOB’unu bulunuz.
24’ün pozitif bölenleri:
30’un pozitif bölenleri:
Ebob(24, 30) =
42’nin pozitif bölenleri:
56’nın pozitif bölenleri:
Ebob(42, 56) =
25’in pozitif bölenleri:
35’in pozitif bölenleri:
50’nin pozitif bölenleri:
Ebob(25, 35, 50) =
İkinci
Yol: Asal bölen listesi yardımıyla da
sayıların EBOB’u bulunabilir.
Aynı anda sayıları tam bölebilen bölenler çarpılarak sayıların
EBOB’u
bulunur. Buna göre;
Ebob(60,
80) = 2 . 2 . 5 = 20
Asal bölen listesine göre sayıların EBOB’unu bulurken sayıları
tam bölen en
küçük asal sayıdan başlayarak bütün sayılar 1 olana kadar devam etmeliyiz. Bir başka deyişle önce 2 ile
bölünebilen sayılar bitene kadar sonra aynı şekilde 3, 5, 7, 11, ... gibi
sayılar 1 olana kadar işlemi sürdürmeliyiz.
Şimdi siz de aynı şekilde aşağıdaki sayıların EBOB’unu bulunuz.
Aşağıda asal bölen listesi yöntemiyle sayıların EBOB’u
bulunmak istenmiştir. Verilmeyen harflerin yerine gelmesi gereken sayıları yanlarına yazınız ve sayıların EBOB’unu
bulunuz.
EBOB ile ilgili çıkabilecek soru tarzları aşağıda örnekler üzerinde
gösterilmiştir. Siz de aynı şekilde çözülmeyen soruları cevaplayınız.
27 kg ve 42 kg ağırlığındaki iki patates çuvalı eşit
miktarlardaki poşetlere hiç artmayacak bir şekilde konulmak isteniyor. Buna
göre
a) Bir torbanın ağırlığı kaç farklı
şekilde olabilir?
b) Bir torbanın ağırlığı en fazla kaç
kg olabilir?
c) Her iki çuval da birbirine
karıştırılmadan en az kaç tane torba oluşturulabilir?
Çözüm:
a)
Bir torbanın ağırlığı, çuvalların ağırlıklarının EBOB’larının
pozitif çarpanlarından biri olabilir. Buna göre 3 sayısının çarpanları 1 ve 3
olduğundan 2 farklı şekilde torbanın ağırlığı olabilir.
b) Bir torbanın ağırlığı en fazla bu
çuvalların ağırlıklarının EBOB’u kadar olabilir. Yani cevap 3 kg olacaktır.
c) Çuvallar birbirine karıştırılmıyorsa
her iki çuvalı da EBOB sayısına bölüp çıkan sonuçları topladığımızda en az
oluşan torba sayısı elde edilecektir.
27 : 3 = 9
42 : 3 = 14
9 + 14 = 23
Örnek 2
Kenarları 30 m ve 45 m olan bir bahçenin kenarlarına eşit
aralıklarla köşeleri de dâhil olmak üzere ağaç dikilecektir. Bu iş için en az
kaç ağaç gereklidir?
Önce verilen uzunlukların EBOB’unu bulmamız gerekir. Buna
göre;
EBOB’u kadar aralık bırakmalıyız. Buna göre bahçenin tüm
çevre uzunluğunu bulduğumuz 15 sayısına bölersek en az ağaç sayısını elde etmiş
oluruz.
Örnek 3
Kenar uzunlukları 480 cm ve 500 cm olan dikdörtgen şeklindeki
bir zemine kare şeklinde fayanslar döşenecektir.
Buna göre,
a) Bu iş için bir fayansın kenar uzunluğu
kaç cm olabilir?
b) Zemin için en az kaç tane fayans
gereklidir?
Çözüm:
Bu iş için uzunluklarının EBOB’unun pozitif çarpanlarına
bakmamız gerekir. Buna göre bir fayansın kenar uzunluğu 20’nin çarpanları olan
1, 2, 4, 5, 10 ve 20 cm olmak üzere 6 farklı uzunlukta olabilir.
Ebob(480,
500) = 2 . 2 . 5 =
20
b) Zemine döşenecek en az sayıdaki
fayans sayısını bulmak için:
Örnek 4
Boyutları 20 m, 40 m, 35 m olan dikdörtgenler prizması şeklindeki
ambarın içine hiç boş kalmayacak şekilde içi dolu küp şeklinde kutular
yerleştirilecektir. Buna göre
a) Kutunun bir kenarı kaç metre
olabilir?
b) Bu iş için en az sayıda kaç kutu
gereklidir?
Çözüm:
a) Önce boyutların EBOB’unu bulursak;
Boyutların EBOB’u 5 olduğundan kutunun bir kenarı 1 m ve 5 m
olabilir.
b) Kutuların en az sayıda olmasını
istiyorsak, bir kenarını 5 m olarak seçmeliyiz. Buna göre;
Şimdilik bu kadar örnek yeterli. Tabi sorular sadece bundan
ibaret değil ama diğer farklı tipteki örnekleri de uygulamamıza sakladık. Şimdi
de bu örneklerden esinlenerek size verilmiş olan örnekleri çözünüz.
SORULAR
S1) 48 kg ve 80 kg olan iki farklı
domates çuvalları birbirine karıştırılmadan aynı miktarda hiç artmayacak şekilde
kasalara konulacaktır. Buna göre;
a) Bir kasanın ağırlığı kaç kg
olabilir?
b) Bu iş için en az kaç tane kasa
gereklidir?
S2) 75 kg ve 100 kg olan iki farklı
pirinç çuvalı birbirine karıştırılmadan eşit miktarda hiç artmayacak şekilde
poşetlere konulacaktır. Buna göre;
a) Bir poşetin ağırlığı kaç kg
olabilir?
b) Bu iş için en az kaç tane poşet
gereklidir?
S3) Kenar uzunlukları 180 m ve 210 m
olan bir dikdörtgen şeklindeki tarlanın etrafına eşit aralıklarla direk dikilip
tel örgü yapılacaktır. Buna göre;
a) İki direk arası kaç farklı uzunlukta
olabilir?
b) Bu iş için en az kaç direk
gereklidir?
S4) Kenar uzunlukları 300 m ve 270 m
olan bir dikdörtgen şeklindeki arsanın etrafına eşit aralıklarla boş kalmayacak
şekilde fidan dikilecektir. Buna göre
a) İki fidan arası kaç farklı uzunlukta
olabilir?
b) Bu iş için en az kaç fidan
gereklidir?
S5) Boyutları 45 cm, 50 cm, 60 cm olan
bir dikdörtgenler prizması şeklindeki karton kutunun içine hiç boş yer kalmamak
şartıyla küp şeklinde hediye kutuları yerleştirilecektir. Buna göre;
a) Hediye kutusunun bir ayrıtının
uzunluğu kaç cm olabilir?
b) En az sayıda yerleştirmek istenirse
kaç tane hediye kutusu gereklidir?
S6) Polat elinde bulunan 3 kutudaki
farklı renkteki kalemleri öğrencilerine dağıtmak istemektedir. Kutularda sırasıyla
100 tane kırmızı kalem, 120 tane yeşil kalem, 150 tane de mavi kalem
bulunmaktadır. Kalemleri birbirine karıştırmadan her öğrenciye aynı renkli ve
eşit sayıda kalem vermek koşuluyla en az kaç öğrenciye bu şekilde tam olarak
dağıtabilir?
S7) Boyutları 120 m, 150 m, 175 m olan
bir dikdörtgenler prizması şeklindeki karton kutunun içine hiç boş yer kalmamak
şartıyla küp şeklinde kargo paketleri yerleştirilmek isteniyor. Buna göre;
a) Kargo paketinin bir ayrıtının
uzunluğu kaç cm olabilir?
b) En az kaç tane kargo paketi
gereklidir?
S8)
A = 23.34.52
B = 27.32.51
Yukarıda A ve B sayıları çarpanlarına ayrılmıştır. Buna göre
Ebob(A, B) kaçtır?
S9) İki farklı doğal sayının çarpımı 240
tır. Bu sayıların EBOB’u 4 ise bu sayıla kaç farklı şekilde değer alabilirler?
S10) Tarık’ın odası dikdörtgen şeklindedir.
Tarık bu odaya kare şeklinde taşlarla zemini kaplamak istemektedir. Odanın
boyutlar 600 cm ve 810 cm olduğuna göre Tarık bu odayı daha az taş kullanması
için en az kaç tane gerektiğini bulunuz?
S11) En büyük ortak bölenleri 12 olan iki
farklı doğal sayının toplamı 48 ise bu sayılardan büyük olanı kaçtır?
EN KÜÇÜK
ORTAK KAT (EKOK) :
İki ya da daha fazla doğal sayının ortak katlarının en küçüğüne EKOK denir. A ve B sayılarının
EKOK’u, Ekok(A,B)
şeklinde gösterilir.
İki veya daha fazla doğal sayının EKOK’unu bulmak için iki
farklı yol vardır.
Birinci
yol: Önce verilen
sayıların pozitif katları yazılır ve ortak katlar belirlenir. Sonra da en küçük
ortak kat seçilir.
6 ve 9’un EKOK’unu bulmak istersek;
6’nın katları 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66
9’un katları 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 96
Ekok(6, 9) = 18
İkinci
yol: Asal bölen
listesi yardımıyla da bulunabilir.
Görüldüğü gibi sayıların Ekok’unu bulmak için bölen
listesindeki çarpanların hepsini çarptığımızda en küçük ortak kat çıkmaktadır.
Siz de aşağıda verilen sayıların Ekok’unu hesaplayınız.
EKOK ile ilgili çıkabilecek soru tarzları aşağıda örnekler üzerinde
gösterilmiştir. Siz de aynı şekilde çözülmeyen soruları cevaplayınız.
Örnek 1
Bir okulda iki farklı zil vardır. Birinci zil 30 dakikada
bir, ikinci zil ise 40 dakika bir çalmaktadır. Ders sabah 7.00 da başladığına
göre ilk defa saat kaçta aynı anda çalarlar.
Çözüm:
Sayıların Ekok’u ilk kez karşılaşacakları zamanı gösterir.
Buna göre 120 dakika yani 2 saat sonra ilk kez aynı anda çalarlar. Cevap saat 9.00’dır.
Örnek 2
Pervin elindeki cevizleri 3’er, 5’er ve 6’şar saydığında her
defasında 2 cevizi artıyor. Buna göre Pervin’in cevizleri 100’den fazla olduğuna
göre en az kaç cevizi vardır?
Çözüm:
3, 5, 6’nın Ekok’u 30 olduğundan cevizler 30 ve 30’un
katlarına her defasında 2 eklersek Pervin’in cevizlerinin olma ihtimallerini
ortaya çıkarırız.
Ama 100’den fazla ve en az ceviz olmasını istiyorsak,
cevizlerimiz 30’un katı olan 120 ve 120’ye de 2 eklememiz gerekir. Buna göre
cevap 122 olacaktır.
Örnek 3
Boyutları 12 cm, 15 cm ve 20 cm olan dikdörtgenler prizması
şeklindeki tahtalarla en küçük hacimli bir küp yapılmak isteniyor. Bunun için
en az kaç tane tahtaya ihtiyaç vardır?
Çözüm:
Boyutların Ekok’ları 60 olduğundan elde edilebilecek en küçük
hacimli küpün bir kenar 60 cm olmalıdır. Buna göre tahta sayısını elde etmek
için aşağıdaki formülü uygulamamız gerekir.
Şimdi de aşağıda verilen soruları çözünüz.
S1) Bir limana, biri 10 günde bir diğeri
25 günde bir gelen iki gemi aynı günde yola çıkmak için hareket ediyor. Bu
gemiler en az kaç gün sonra tekrar karşılaşabilir?
S2) İki kişinin çalıştığı bir işyerinde
biri 12 günde bir, diğeri ise 18 günde bir nöbet tutmaktadır. Bu iki kişinin aynı
anda nöbet tuttukları gün ise tatil edilmektedir. Buna göre bu iki kişi işe
başlayıp ilk tatillerini aldıklarından en az kaç gün sonra tekrar tatile
çıkarlar?
S3) Bir sayı 5 ile bölündüğünde 4
kalanını, 6 ile bölündüğünde 5 kalanını ve 9 ile bölündüğünde 8 kalanını vermektedir.
Buna göre bu sayı en az kaçtır?
S4) 302 sayısına en az kaç eklenmelidir
ki bu sayı 3’e, 4’e ve 5’e tam olarak bölünebilsin?
S5) Pelin kendi okulunun merdivenlerini
3’er 3’er, 4’er 4’er ve 5’er 5’er çıkabilmektedir. Pelin’in okulunun merdivenlerinin
basamak sayısı 100’den fazla olduğuna göre bu merdiven en az kaç basamaklıdır?
S6) Ömer elindeki elmaların 2’şer 2’şer,
3’er 3’er ve 4’er 4’er saydığında her defasında 1 elması artmaktadır. Ömer’in
elmaları 50’den fazla ise en az kaç elması vardır?
S7) Ali, elinde bulunan kalemlerini
hayır için fakir öğrencilerine dağıtmak istemektedir. Yalnız elindeki kalemleri
10’ar 10’ar, 12’şer 12’şer ve 15’er 15’er saydığında her defasında 2 eksik
kalem çıkmaktadır. Ali’nin elinde en az kaç kalem bulunmaktadır?
S8)
Yukarıdaki asal bölen listesine göre her harf bir doğal sayıyı
temsil ettiğine göre A+B toplamı kaçtır?
S9) Ebatları 2 m, 3 m, 4 m olan
dikdörtgenler prizması şeklindeki karton kutular küp şeklindeki bir depoya hiç
boş kalmayacak şekilde en az sayıda yerleştirilmek isteniyor. Buna göre bu
şartlarda kaç tane karton kutu gerekir?
S10) Bir doğal sayıya 2 eklendiğinde 3’e
ve 4’e tam bölünebilmektedir. Bu sayıdan 2 çıkarıldığında ise 4’e ve 5’e tam
bölünebilmektedir. Buna göre bu sayı en az kaç olabilir?
Hiç yorum yok:
yorum