15 Ekim 2016 Cumartesi

12.SINIF LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ANLATIMI





TÜREVE GİRİŞ

LİMİT VE SÜREKLİLİK

Soldan ve Sağdan Yaklaşma

a R sayısı verilsin. Bu sayıya sağdan ve soldan gittikçe yaklaşan x değişkenini inceleyelim.

Sayı doğrusunda x değişkeni, sabit bir a noktasına a sayısından küçük değerlerle yaklaşıyorsa bu şekildeki yaklaşmaya, soldan yaklaşma denir ve bu durum x→a ile gösterilir.

Sayı doğrusunda x değişkeni, sabit bir a noktasına a sayısından büyük değerlerle yaklaşıyorsa bu şekildeki yaklaşmaya, sağdan yaklaşma denir ve bu durum x→a + ile gösterilir.




Örnek:     5 sayısına sağdan ve soldan yaklaşan x değişkenini inceleyelim.




x Soldan Yaklaşıyor
x Sağdan Yaklaşıyor
4
6
4,5
5,5
4,9
5,1
4,99
5,01
4,999…
5,000…1
……..
……..
x5
x5 +


BİR FONKSİYONUN LİMİTİ

A R, f: A R veya f: A {a} R bir fonksiyon olsun.

x değişkeni a sayısına soldan yaklaştığında f(x) de bir L1 reel sayısına yaklaşıyorsa,
L1 sayısına f fonksiyonunun x = a noktasındaki soldan limiti denir ve


$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {a^ - }} {\rm{f(x)}} = {{\rm{L}}_1}$$  olarak gösterilir.



x değişkeni a sayısına sağdan yaklaştığında f(x) de bir L2 reel sayısına yaklaşıyorsa,

L2 sayısına f fonksiyonunun x = a noktasındaki sağdan limiti denir ve

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {a^ + }} {\rm{f(x)}} = {{\rm{L}}_2}$$  olarak gösterilir.


f fonksiyonunun x = a noktasında limitinin var olması için gerek ve yeter koşul bu noktadaki sağdan ve soldan limitlerinin mevcut ve birbirine eşit olmasıdır.


O halde L1 = L2 = L ise



$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to a} {\rm{f(x)}} = {\rm{L}}$$ olarak gösterilir.





GRAFİKLERDE LİMİTİN VARLIĞINI İNCELEYELİM

Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonların x = a noktasındaki limitlerinin olup olmadığını inceleyelim.



DİKKAT:   Özellik 1)

Bir f: D IR R fonksiyonunun a D noktasında limitinin olması için gerek ve yeter koşul soldan ve sağdan limitlerinin eşit olmasıdır. Yani,


$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{a}}^ - }} {\rm{f(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{a}}^ + }} {\rm{f(x)}} = {\rm{L}}$$ ise
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}} = {\rm{L }}$$  olur.

Özellik 2)


$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{a}}^ - }} {\rm{f(x)}} \ne \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{a}}^ + }} {\rm{f(x)}} = {\rm{L}}$$  ise
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}}$$  yoktur.

Özellik 3) 

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}}$$ olması f nin, x = a da tanımlı olmasına bağlı değildir.

Özellik 4)

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}}$$ varsa bu değer bir tanedir.


Bir f(x) fonksiyonunun tanımlı olduğu x = a noktası kritik nokta değilse, f fonksiyonunun x = a noktasındaki limiti bu noktadaki görüntüsüne eşittir. Yani;

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}} = {\rm{f(a}}){\rm{d\imath r}}{\rm{.}}$$


LİMİTİN ÖZELLİKLERİ


1. Özellik:         c R için,

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{c}} = {\rm{c}}$$ dir.


2. Özellik:         f(x) = anxn + an1xn1 + ... + a1x + a0 polinom fonksiyonu için,

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}} = {\rm{f(a)}}$$ dır.




3. Özellik:         y = f(x) ve y = g(x), x = a noktasında limitleri olan iki fonksiyon olmak üzere;

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{[f(x) + g(x)]}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x) + }}\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{g(x)}}$$

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{[f(x) - g(x)]}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x) - }}\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{g(x)}}$$

4. Özellik:         y = f(x) ve y = g(x), x = a noktasında limitleri olan iki fonksiyon olmak üzere;

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{[f(x)}}{\rm{.g(x)]}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}}{\rm{.}}\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{g(x)}}$$ olur.

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{g(x)}} \ne {\rm{0}}$$ olup

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{[}}{{{\rm{f(x)}}} \over {{\rm{g(x)}}}}{\rm{]}} = {{\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}}} \over {\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{g(x)}}}}$$ olur.




5. Özellik:         y = f(x), x = a noktasında limiti olan bir fonksiyon olsun.
c R için,

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{[c}}{\rm{.f(x)]}} = c{\rm{.}}\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}}$$ 

6. Özellik:         y = f(x), x = a noktasında limiti olan bir fonksiyon olsun.

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} \left| {{\rm{f(x)}}} \right| = \left| {\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}}} \right|$$




7. Özellik:         y = f(x), x = a noktasında limiti olan bir fonksiyon olsun. Bu durumda;

i)     n tek doğal sayı ise,

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} \root {\rm{n}} \of {{\rm{f(x)}}}  = \root {\rm{n}} \of {\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}}} $$

ii)    n çift doğal sayı ve $$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x) > 0}}$$

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} \root {\rm{n}} \of {{\rm{f(x)}}}  = \root {\rm{n}} \of {\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}}} $$

8. Özellik:         y = f(x), x = a noktasında limiti olan bir fonksiyon olmak üzere;

i)     c > 0 ise, $$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {{\rm{c}}^{{\rm{f(x)}}}}{\rm{ = }}{{\rm{c}}^{\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}}}}$$


ii)     $$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}} = {\rm{f(a)}} \in {{\rm{R}}^ + },{\rm{b}} \ne 1{\rm{ve b}} > 0{\rm{ise}}$$

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} \left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\rm{b}}}{\rm{f(x)}}} \right] = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\rm{b}}}[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}}]{\rm{tir}}{\rm{.}}$$



9. Özellik:         a R olmak üzere;

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{sinx}} = \sin {\rm{a}}$$

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{cosx}} = \cos {\rm{a}}$$

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{tanx}} = \tan {\rm{a}}{\rm{,(cosa}} \ne {\rm{0)}}$$

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{cotx}} = \cot {\rm{a}}{\rm{,(sina}} \ne {\rm{0)}}$$





10. Özellik (Sıkıştırma Teoremi):        y = f(x) ve y = g(x), x = a noktasında limitleri olan iki fonksiyon olmak üzere,

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{g(x)}} = {\rm{L}}$$

ve x in a sayısına yakın tüm değerleri için f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) ise

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{h(x)}} = {\rm{L'dir}}{\rm{.}}$$





DİKKAT:  

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{a}}^{\rm{ - }}}} {\rm{f(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{a}}^{\rm{ + }}}} {\rm{f(x)  =  }}\infty $$


olması x = a da limitin varlığı anlamına gelmez. Çünkü limit gerçel sayıdır. ∞(ya da –∞) bir gerçel sayı değildir.

11. Özellik:

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {1 \over {{{{\rm{(x - a)}}}^{\rm{n}}}}} = $$

       +∞,  n pozitif çift sayı
       Yoktur, n pozitif tek sayı

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to  \pm \infty } {1 \over {{{{\rm{(x - a)}}}^{\rm{n}}}}} = 0,({\rm{n}} \in {{\rm{Z}}^ + })$$





12. Özellik:


a > 1 ise,

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to \infty } {{\rm{a}}^{\rm{x}}} = \infty ,\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to  - \infty } {{\rm{a}}^{\rm{x}}} = 0$$

0 < a < 1 ise,

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to \infty } {{\rm{a}}^{\rm{x}}} = 0,\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to  - \infty } {{\rm{a}}^{\rm{x}}} = \infty $$




Parçalı ve Mutlak Değerli Fonksiyonların Limitleri


1. Parçalı Fonksiyonların Limiti

Parçalı fonksiyonların kritik noktalarında ve fonksiyonun sonsuz (∞ ) olduğu (yani kesirli fonksiyonun paydasını sıfır yapan) noktalarda soldan ve sağdan limit alınır.

Yani f(x) fonksiyonu,

biçiminde parçalı olarak verilmişse x = a noktasındaki soldan limit:

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{a}}^ - }} {\rm{f(x)  = }}\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {{\rm{f}}_{\rm{1}}}{\rm{(x) = }}{{\rm{f}}_{\rm{1}}}{\rm{(a)}}$$

sağdan limit:

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{a}}^ + }} {\rm{f(x)  = }}\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {{\rm{f}}_2}{\rm{(x) = }}{{\rm{f}}_2}{\rm{(a) d\imath r}}{\rm{.}}$$


Eğer f(x) fonksiyonu parçalı olarak verilmemişse x = a kritik noktasındaki sol ve sağ limitleri daha önce verilene denk olmak üzere,

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{a}}^ - }} {\rm{f(x)  = }}\mathop {\lim }\limits_{{\rm{h}} \to {\rm{0}}} {\rm{f(a - h)}}$$ ve h>0 dır.

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{a}}^ + }} {\rm{f(x)  = }}\mathop {\lim }\limits_{{\rm{h}} \to {\rm{0}}} {\rm{f(a + h)}}$$
h>0 dır.

kuralları ile de bulunabilir.



2. Mutlak Değer Fonksiyonunun Limiti

f(x) = |g(x)| fonksiyonu verilsin. f(x) in kritik noktalarındaki (g(x) = 0 denkleminin köklerinde) limiti sıfırdır.

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} \left| {{\rm{f(x)}}} \right|{\rm{  = }}\left| {\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}}} \right|$$



Genişletilmiş Gerçek Sayılar Kümesinde Limit

Gerçek sayılar kümesine "+∞" ve "– ∞" eklenmesiyle elde edilen kümeye ise genişletilmiş gerçek sayılar kümesi denir.

Eğer bir x değişkeni sınırsız olarak durmadan artıyorsa x+∞ şeklinde veya sınırsız olarak durmadan azalıyorsa x-∞ şeklinde ifade edilir.

Limit durumunda sonsuz kavramı ile ilgili aşağıdaki eşitlikler vardır.





SÜREKLİLİK

y = f(x) fonksiyonunda  
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)  = f(a)}}$$ R ise f fonksiyonuna, x = a noktasında süreklidir denir.

Bu tanıma göre y = f(x) fonksiyonu x = a noktasında sürekli ise;
a) f fonksiyonu x = a noktasında tanımlıdır. f(a) R dır.

b) f fonksiyonun x = a noktasında limiti vardır.

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x) }} \in {\rm{R}}$$

c) f fonksiyonun x = a noktasındaki limiti, fonksiyonun x = a noktasındaki değerine eşittir.
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)  = f(a)}}$$


ÖRNEK:Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonlar x = a noktasında sürekli değildir.



Grafikler incelenecek olursa;

I. şekilde fonksiyon, x = a noktasında tanımlı değildir. Bu durumda f fonksiyonunun x = a noktasında sürekliliğine bakılmaz.

II. şekilde fonksiyonun x = a noktasındaki değeri, x = a noktasındaki limit değerinden farklıdır.

III. şekilde ise fonksiyonun x = a noktasında limiti yoktur.

Özellik

Sürekli Fonksiyon

y = f(x) fonksiyonu tanım kümesinin her noktasında sürekli ise f fonksiyonuna, sürekli fonksiyon denir.

Polinom fonksiyonlar, sürekli fonksiyonlardır.

f ve g fonksiyonları x = a noktasında sürekli ise;

a) f + g fonksiyonu x = a noktasında,
b) f – g fonksiyonu x = a noktasında,
c) k ∈ R olmak üzere k · f fonksiyonu x = a noktasında,
ç) f · g fonksiyonu x = a noktasında,
d) g(a) ≠ 0 olmak üzere f/g fonksiyonu x = a noktasında süreklidir.



SORULAR
1-

2-

3-

4-c

5-
6-
7-
8-




12.Sınıf Matematik Fonksiyonların Limitleri, Belirsizlikler ve Süreklilik Online Testi 1

Hiç yorum yok:
yorum