TÜREVE GİRİŞ
LİMİT VE SÜREKLİLİK
Soldan ve
Sağdan Yaklaşma
a ∈ R sayısı verilsin. Bu
sayıya sağdan ve soldan gittikçe yaklaşan x değişkenini inceleyelim.
Sayı doğrusunda x değişkeni, sabit bir a noktasına a sayısından
küçük değerlerle yaklaşıyorsa bu şekildeki yaklaşmaya, soldan yaklaşma
denir ve bu durum x→a – ile gösterilir.
Sayı doğrusunda x değişkeni, sabit bir a noktasına a sayısından
büyük değerlerle yaklaşıyorsa bu şekildeki yaklaşmaya, sağdan yaklaşma
denir ve bu durum x→a + ile gösterilir.
Örnek: 5
sayısına sağdan ve soldan yaklaşan x değişkenini inceleyelim.
x
Soldan Yaklaşıyor
|
x
Sağdan Yaklaşıyor
|
4
|
6
|
4,5
|
5,5
|
4,9
|
5,1
|
4,99
|
5,01
|
4,999…
|
5,000…1
|
……..
|
……..
|
x→5 –
|
x→5 +
|
BİR FONKSİYONUN LİMİTİ
A ⊂ R, f: A → R veya f: A – {a} → R bir fonksiyon olsun.
x değişkeni a sayısına soldan yaklaştığında f(x) de bir L1 reel
sayısına yaklaşıyorsa,
L1 sayısına f fonksiyonunun x = a
noktasındaki soldan limiti denir ve
x değişkeni a sayısına sağdan yaklaştığında f(x) de bir L2 reel sayısına yaklaşıyorsa,
L2 sayısına f fonksiyonunun x = a
noktasındaki sağdan limiti denir ve
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {a^ + }} {\rm{f(x)}} = {{\rm{L}}_2}$$ olarak gösterilir.
f fonksiyonunun x = a noktasında limitinin var olması için gerek
ve yeter koşul bu noktadaki sağdan ve soldan limitlerinin mevcut ve birbirine eşit olmasıdır.
O halde L1 = L2 = L ise
GRAFİKLERDE LİMİTİN VARLIĞINI İNCELEYELİM
Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonların x = a noktasındaki
limitlerinin olup olmadığını inceleyelim.
DİKKAT: Özellik 1)
Bir f: D ⊂ IR →R fonksiyonunun a ∈ D noktasında limitinin olması için gerek ve yeter koşul soldan ve sağdan limitlerinin eşit olmasıdır. Yani,
Bir f: D ⊂ IR →R fonksiyonunun a ∈ D noktasında limitinin olması için gerek ve yeter koşul soldan ve sağdan limitlerinin eşit olmasıdır. Yani,
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{a}}^ - }} {\rm{f(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{a}}^ + }} {\rm{f(x)}} = {\rm{L}}$$ ise
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}} = {\rm{L }}$$ olur.
Özellik 2)
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{a}}^ - }} {\rm{f(x)}} \ne \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{a}}^ + }} {\rm{f(x)}} = {\rm{L}}$$ ise
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}}$$ yoktur.
Özellik 3)
Özellik 4)
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}}$$ varsa bu değer bir tanedir.
Bir f(x) fonksiyonunun tanımlı olduğu x = a
noktası kritik nokta değilse, f fonksiyonunun x = a noktasındaki limiti
bu noktadaki görüntüsüne eşittir. Yani;
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}} = {\rm{f(a}}){\rm{d\imath r}}{\rm{.}}$$
LİMİTİN ÖZELLİKLERİ
1.
Özellik: ∀c ∈ R için,
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{c}} = {\rm{c}}$$ dir.
2. Özellik: f(x) = anxn + an–1xn–1 +
... + a1x + a0 polinom fonksiyonu için,
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}} = {\rm{f(a)}}$$ dır.
3.
Özellik: y
= f(x) ve y = g(x), x = a noktasında limitleri olan iki fonksiyon olmak üzere;
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{[f(x) + g(x)]}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x) + }}\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{g(x)}}$$
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{[f(x) - g(x)]}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x) - }}\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{g(x)}}$$
4.
Özellik: y
= f(x) ve y = g(x), x = a noktasında limitleri olan iki fonksiyon olmak üzere;
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{[f(x)}}{\rm{.g(x)]}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}}{\rm{.}}\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{g(x)}}$$ olur.
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{g(x)}} \ne {\rm{0}}$$ olup
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{[}}{{{\rm{f(x)}}} \over {{\rm{g(x)}}}}{\rm{]}} = {{\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}}} \over {\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{g(x)}}}}$$ olur.
5.
Özellik:
y = f(x), x = a noktasında limiti olan bir fonksiyon olsun.
∀c ∈ R için,
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{[c}}{\rm{.f(x)]}} = c{\rm{.}}\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}}$$
6.
Özellik:
y = f(x), x = a noktasında limiti olan bir fonksiyon olsun.
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} \left| {{\rm{f(x)}}} \right| = \left| {\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}}} \right|$$
7.
Özellik:
y = f(x), x = a noktasında limiti olan bir fonksiyon olsun.
Bu durumda;
i) n
tek doğal sayı ise,
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} \root {\rm{n}} \of {{\rm{f(x)}}} = \root {\rm{n}} \of {\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}}} $$
ii) n
çift doğal sayı ve $$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x) > 0}}$$
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} \root {\rm{n}} \of {{\rm{f(x)}}} = \root {\rm{n}} \of {\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}}} $$
8.
Özellik:
y = f(x), x = a noktasında limiti olan bir fonksiyon olmak
üzere;
i) c
> 0 ise, $$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {{\rm{c}}^{{\rm{f(x)}}}}{\rm{ = }}{{\rm{c}}^{\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}}}}$$
ii) $$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}} = {\rm{f(a)}} \in {{\rm{R}}^ + },{\rm{b}} \ne 1{\rm{ve b}} > 0{\rm{ise}}$$
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} \left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\rm{b}}}{\rm{f(x)}}} \right] = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\rm{b}}}[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}}]{\rm{tir}}{\rm{.}}$$
9.
Özellik:
a ∈ R olmak üzere;
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{sinx}} = \sin {\rm{a}}$$
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{cosx}} = \cos {\rm{a}}$$
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{tanx}} = \tan {\rm{a}}{\rm{,(cosa}} \ne {\rm{0)}}$$
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{cotx}} = \cot {\rm{a}}{\rm{,(sina}} \ne {\rm{0)}}$$
10.
Özellik (Sıkıştırma Teoremi): y = f(x) ve y =
g(x), x = a noktasında limitleri olan iki fonksiyon olmak üzere,
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{g(x)}} = {\rm{L}}$$
ve x in a sayısına yakın tüm değerleri için
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{h(x)}} = {\rm{L'dir}}{\rm{.}}$$
DİKKAT:
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{a}}^{\rm{ - }}}} {\rm{f(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{a}}^{\rm{ + }}}} {\rm{f(x) = }}\infty $$
olması x = a da limitin varlığı anlamına gelmez. Çünkü limit
gerçel sayıdır. ∞(ya da –∞) bir gerçel sayı değildir.
11.
Özellik:
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {1 \over {{{{\rm{(x - a)}}}^{\rm{n}}}}} = $$
+∞,
n pozitif çift sayı
Yoktur, n pozitif
tek sayı
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to \pm \infty } {1 \over {{{{\rm{(x - a)}}}^{\rm{n}}}}} = 0,({\rm{n}} \in {{\rm{Z}}^ + })$$
12.
Özellik:
a > 1 ise,
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to \infty } {{\rm{a}}^{\rm{x}}} = \infty ,\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to - \infty } {{\rm{a}}^{\rm{x}}} = 0$$
0 < a < 1 ise,
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to \infty } {{\rm{a}}^{\rm{x}}} = 0,\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to - \infty } {{\rm{a}}^{\rm{x}}} = \infty $$
Parçalı ve Mutlak Değerli Fonksiyonların
Limitleri
1.
Parçalı Fonksiyonların Limiti
Parçalı fonksiyonların kritik noktalarında ve fonksiyonun
sonsuz (∞ ) olduğu (yani kesirli fonksiyonun paydasını sıfır yapan) noktalarda
soldan ve sağdan limit alınır.
Yani f(x) fonksiyonu,
biçiminde parçalı olarak verilmişse x = a noktasındaki soldan
limit:
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{a}}^ - }} {\rm{f(x) = }}\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {{\rm{f}}_{\rm{1}}}{\rm{(x) = }}{{\rm{f}}_{\rm{1}}}{\rm{(a)}}$$
sağdan limit:
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{a}}^ + }} {\rm{f(x) = }}\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {{\rm{f}}_2}{\rm{(x) = }}{{\rm{f}}_2}{\rm{(a) d\imath r}}{\rm{.}}$$
Eğer f(x) fonksiyonu parçalı olarak verilmemişse x = a kritik
noktasındaki sol ve sağ limitleri daha önce verilene denk olmak üzere,
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{a}}^ - }} {\rm{f(x) = }}\mathop {\lim }\limits_{{\rm{h}} \to {\rm{0}}} {\rm{f(a - h)}}$$ ve h>0 dır.
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{a}}^ + }} {\rm{f(x) = }}\mathop {\lim }\limits_{{\rm{h}} \to {\rm{0}}} {\rm{f(a + h)}}$$
h>0 dır.
kuralları ile de bulunabilir.
2. Mutlak Değer Fonksiyonunun Limiti
f(x) = |g(x)| fonksiyonu verilsin. f(x) in kritik
noktalarındaki (g(x) = 0 denkleminin köklerinde) limiti sıfırdır.
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} \left| {{\rm{f(x)}}} \right|{\rm{ = }}\left| {\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}}} \right|$$
Genişletilmiş Gerçek Sayılar Kümesinde Limit
Gerçek sayılar kümesine "+∞" ve "– ∞"
eklenmesiyle elde edilen kümeye ise genişletilmiş gerçek sayılar kümesi denir.
Eğer bir x değişkeni sınırsız olarak durmadan artıyorsa x→+∞ şeklinde veya sınırsız olarak durmadan azalıyorsa x→-∞ şeklinde ifade edilir.
Limit durumunda sonsuz kavramı ile ilgili aşağıdaki
eşitlikler vardır.
SÜREKLİLİK
y = f(x) fonksiyonunda
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x) = f(a)}}$$∈ R ise f fonksiyonuna, x = a noktasında süreklidir denir.
Bu tanıma göre y = f(x) fonksiyonu x = a noktasında sürekli
ise;
a) f fonksiyonu x = a noktasında tanımlıdır. f(a) ∈ R dır.
b) f
fonksiyonun x = a noktasında limiti vardır.
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x) }} \in {\rm{R}}$$
c) f fonksiyonun x = a noktasındaki limiti, fonksiyonun x = a noktasındaki değerine eşittir.
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x) = f(a)}}$$
ÖRNEK:Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonlar x = a noktasında sürekli değildir.
Grafikler incelenecek olursa;
I. şekilde fonksiyon, x = a noktasında tanımlı değildir. Bu durumda f fonksiyonunun x = a noktasında sürekliliğine bakılmaz.
II. şekilde fonksiyonun x = a noktasındaki değeri, x = a noktasındaki limit değerinden farklıdır.
III. şekilde ise fonksiyonun x = a noktasında limiti yoktur.
Özellik
Sürekli Fonksiyon
y = f(x) fonksiyonu tanım kümesinin her noktasında sürekli ise f fonksiyonuna, sürekli fonksiyon denir.
Polinom fonksiyonlar, sürekli fonksiyonlardır.
f ve g fonksiyonları x = a noktasında sürekli ise;
a) f + g fonksiyonu x = a noktasında,
b) f – g fonksiyonu x = a noktasında,
c) k ∈ R olmak üzere k · f fonksiyonu x = a noktasında,
ç) f · g fonksiyonu x = a noktasında,
d) g(a) ≠ 0 olmak üzere f/g fonksiyonu x = a noktasında süreklidir.
SORULAR
1-
2-
3-
4-c
5-
6-
7-
8-
12.Sınıf Matematik Fonksiyonların Limitleri, Belirsizlikler ve Süreklilik Online Testi 1
Hiç yorum yok:
yorum