LİMİTTE BELİRSİZLİKLER
Limit hesaplamalarında karşılaşılan,

biçimindeki ifadelere belirsiz ifadeler denir.
Belirsiz İfadeler öğreneceğimiz işlemler yardımıyla belirli duruma getirilip
limiti alınır.
NOT: Belirsizlik türlerinden sıfır bölü sıfır ve sonsuz bölü sonsuz belirsizlikleri haricindeki diğer belirsizlikler lise müfredatından kaldırılmıştır. Bu sebeple sadece bu iki belirsizlik türünü anlatacağız.

y =
f(x) ve y = g(x) birer fonksiyon,
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}} = {\rm{f(a) = 0}}$$
ve
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{g(x)}} = {\rm{g(a) = 0}}$$
olmak üzere,
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {{{\rm{f(x)}}} \over {{\rm{g(x)}}}}$$
ifadesinde 0/0 (sıfır bölü sıfır) belirsizliği vardır. Bu belirsizliği gidermenin yolları aşağıdaki gibidir.
1- Pay ve payda polinomlardan oluşuyorsa bu polinomlar çarpanlarına ayrılarak gerekli sadeleştirmeler yapılıp, belirsizlik giderilir.
2- Trigonometrik terimlerden oluşuyor ise trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştirmeler yapılır.
3- L'HOSPİTAL kuralı yardımıyla çözülür.( Türev konusunda öğreneceğiz.)
NOT: Eğer bu işlemler sonucu belirsizlik
devam ederse benzer işlemler tekrarlanarak belirsizlik ortadan kaldırılır.
ÖRNEK:
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{1}}} {{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - 1}}} \over {{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - 3x + 2}}}} = {\rm{?}}$$
ÇÖZÜM:
x yerine 1 yazarsak 0/0 belirsizliği olur.
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{1}}} {{{\rm{(x - 1)}}{\rm{.(x + 1)}}} \over {{\rm{(x - 1)}}{\rm{.(x - 2)}}}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{1}}} {{{\rm{(x + 1)}}} \over {{\rm{(x - 2)}}}}{\rm{ = }}{2 \over { - 1}} = - 2$$
ÖRNEK:
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{1}}} {{{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ - 7x + 6}}} \over {{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ - 6}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 11x - 6}}}} = {\rm{?}}$$
ÇÖZÜM:
x yerine 1 yazarsak 0/0 belirsizliği olur.
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{1}}} {{{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ - 7x + 6}}} \over {{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ - 6}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 11x - 6}}}} = {{1 - 7 + 6} \over {1 - 6 + 11 - 6}}{\rm{ = }}{0 \over 0}$$
Limit x 1'e giderken belirsizlik oluştuğu için pay ve paydada
(x-1) çarpanı vardır diyebiliriz. Burada pay ve paydadaki polinomları (x-1)'e bölerek çarpanlarına ayıralım.

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{1}}} {{{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ - 7x + 6}}} \over {{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ - 6}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 11x - 6}}}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{1}}} {{{\rm{(x - 1)}}{\rm{.(}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + x - 6)}}} \over {{\rm{(x - 1)}}{\rm{.(}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - 5x + 6)}}}}$$
$${\rm{ = }}{{1 + 1 - 6} \over {1 - 5 + 6}} = - 2$$
ÖRNEK:
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{\pi }} \over 2}} {{{\rm{1 - sinx}}} \over {{\rm{1 + cos2x}}}} = ?$$
ÇÖZÜM:
x yerine π/2 yazarsak 0/0 belirsizliği olur.
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{\pi }} \over 2}} {{{\rm{1 - sinx}}} \over {{\rm{1 + cos2x}}}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{\pi }} \over 2}} {{{\rm{1 - sinx}}} \over {{\rm{1 + 2co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x - 1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{\pi }} \over 2}} {{{\rm{1 - sinx}}} \over {{\rm{2co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}}}$$
$$ = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{\pi }} \over 2}} {{{\rm{(1 - sinx)}}{\rm{.(1 + sinx)}}} \over {{\rm{(2co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x)}}{\rm{.(1 + sinx)}}}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{\pi }} \over 2}} {{{\rm{1 - si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}} \over {{\rm{(2co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x)}}{\rm{.(1 + sinx)}}}}$$
$$ = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{\pi }} \over 2}} {{{\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}} \over {{\rm{2co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}{\rm{.(1 + sinx)}}}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{\pi }} \over 2}} {{\rm{1}} \over {{\rm{2}}{\rm{.(1 + sinx)}}}}$$
$$ = {{\rm{1}} \over {{\rm{2}}{\rm{.(1 + 1)}}}} = {{\rm{1}} \over {\rm{4}}}$$
NOT:
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 0} {{{\rm{sinx}}} \over {\rm{x}}} = 1$$
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 0} {{{\rm{tanx}}} \over {\rm{x}}} = 1$$
NOT: Köklü ifadelerde limit alınırken 0/0 belirsizliği çıkarsa, pay ve payda köklü ifadenin eşleneği ile çarpılır.


n ∈ N olmak üzere,
f(x) = anxn + an–1xn–1
+ ...... + a1x + a0 polinom fonksiyonunda,
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to - \infty } {\rm{f(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to - \infty } {\rm{(}}{{\rm{a}}_{\rm{n}}}{{\rm{x}}^{\rm{n}}}{\rm{)}}$$
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to + \infty } {\rm{f(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to + \infty } {\rm{(}}{{\rm{a}}_{\rm{n}}}{{\rm{x}}^{\rm{n}}}{\rm{)}}$$
m, n ∈ N olmak üzere,
$${\rm{f(x)}} = {{{{\rm{a}}_{\rm{n}}}{{\rm{x}}^{\rm{n}}} + {{\rm{a}}_{{\rm{n - 1}}}}{{\rm{x}}^{{\rm{n - 1}}}} + ..... + {{\rm{a}}_1}{{\rm{x}}^1} + {{\rm{a}}_0}} \over {{{\rm{b}}_{\rm{m}}}{{\rm{x}}^{\rm{m}}} + {{\rm{b}}_{{\rm{m - 1}}}}{{\rm{x}}^{{\rm{m - 1}}}} + ..... + {{\rm{b}}_1}{{\rm{x}}^1} + {{\rm{b}}_0}}}$$

SONUÇ:

ÖRNEK:
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to \infty } {{8{\rm{x}} + \sqrt {{{\rm{x}}^{\rm{2}}} - 5{\rm{x}} + 1} } \over {3x + 7}} = ?$$
ÇÖZÜM:
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to \infty } {{8{\rm{x}} + \sqrt {{{\rm{x}}^{\rm{2}}}(1 - {5 \over {\rm{x}}} + {1 \over {{{\rm{x}}^2}}})} } \over {3{\rm{x}} + 7}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to \infty } {{8{\rm{x}} + {\rm{x}}\sqrt {1 - {5 \over {\rm{x}}} + {1 \over {{{\rm{x}}^2}}}} } \over {3{\rm{x}} + 7}}$$
$$ = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to \infty } {{8{\rm{x}} + {\rm{x}}} \over {3{\rm{x}} + 7}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to \infty } {{9{\rm{x}}} \over {3{\rm{x}} + 7}} = {9 \over 3} = 3$$
ÖRNEK:
$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to \infty } {{{{\rm{x}}^{\rm{2}}} - 1} \over {5 + 4{{\rm{x}}^3}}} = ?$$
ÇÖZÜM:
$$ = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to \infty } {{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}(1 - {1 \over {{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}})} \over {{{\rm{x}}^3}({5 \over {{{\rm{x}}^3}}} + 4)}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to \infty } {{(1 - {1 \over {{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}})} \over {{\rm{x}}({5 \over {{{\rm{x}}^3}}} + 4)}} = $$
$$ = {{1 - 0} \over {\infty (0 + 4)}} = {1 \over \infty } = 0$$
SORULAR

12.Sınıf Matematik Fonksiyonların Limitleri, Belirsizlikler ve Süreklilik Online Testi 1
Hiç yorum yok:
yorum