12.SINIF LİMİTTE BELİRSİZLİK DURUMLARI (SIFIR BÖLÜ SIFIR VE SONSUZ BÖLÜ SONSUZ BELİRSİZLİĞİ)

LİMİTTE BELİRSİZLİKLER

Limit hesaplamalarında karşılaşılan,

biçimindeki ifadelere belirsiz ifadeler denir. Belirsiz İfadeler öğreneceğimiz işlemler yardımıyla belirli duruma getirilip limiti alınır.

NOT: Belirsizlik türlerinden sıfır bölü sıfır ve sonsuz bölü sonsuz belirsizlikleri haricindeki diğer belirsizlikler lise müfredatından kaldırılmıştır. Bu sebeple sadece bu iki belirsizlik türünü anlatacağız.

y = f(x) ve y = g(x) birer fonksiyon,

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f(x)}} = {\rm{f(a)  =  0}}$$

ve

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{g(x)}} = {\rm{g(a)  =  0}}$$

olmak üzere,

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {{{\rm{f(x)}}} \over {{\rm{g(x)}}}}$$

ifadesinde 0/0 (sıfır bölü sıfır) belirsizliği vardır. Bu belirsizliği gidermenin  yolları aşağıdaki gibidir.

1- Pay ve payda polinomlardan oluşuyorsa bu polinomlar çarpanlarına ayrılarak gerekli sadeleştirmeler yapılıp, belirsizlik giderilir. 

2- Trigonometrik terimlerden oluşuyor ise trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştirmeler yapılır. 

3- L'HOSPİTAL kuralı yardımıyla çözülür.( Türev konusunda öğreneceğiz.)

NOT: Eğer bu işlemler sonucu belirsizlik devam ederse benzer işlemler tekrarlanarak belirsizlik ortadan kaldırılır.

ÖRNEK:

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{1}}} {{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - 1}}} \over {{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - 3x + 2}}}} = {\rm{?}}$$

ÇÖZÜM:

x yerine 1 yazarsak 0/0 belirsizliği olur.

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{1}}} {{{\rm{(x - 1)}}{\rm{.(x + 1)}}} \over {{\rm{(x - 1)}}{\rm{.(x - 2)}}}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{1}}} {{{\rm{(x + 1)}}} \over {{\rm{(x - 2)}}}}{\rm{ = }}{2 \over { - 1}} =  - 2$$

ÖRNEK:

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{1}}} {{{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ - 7x + 6}}} \over {{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ - 6}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 11x - 6}}}} = {\rm{?}}$$

ÇÖZÜM:

x yerine 1 yazarsak 0/0 belirsizliği olur.

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{1}}} {{{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ - 7x + 6}}} \over {{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ - 6}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 11x - 6}}}} = {{1 - 7 + 6} \over {1 - 6 + 11 - 6}}{\rm{ = }}{0 \over 0}$$

Limit x 1'e giderken belirsizlik oluştuğu için pay ve paydada 

(x-1) çarpanı vardır diyebiliriz. Burada pay ve paydadaki polinomları (x-1)'e bölerek çarpanlarına ayıralım.

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{1}}} {{{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ - 7x + 6}}} \over {{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ - 6}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 11x - 6}}}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{1}}} {{{\rm{(x - 1)}}{\rm{.(}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + x - 6)}}} \over {{\rm{(x - 1)}}{\rm{.(}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - 5x + 6)}}}}$$

$${\rm{ = }}{{1 + 1 - 6} \over {1 - 5 + 6}} =  - 2$$

ÖRNEK:

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{\pi }} \over 2}} {{{\rm{1 - sinx}}} \over {{\rm{1 + cos2x}}}} = ?$$

ÇÖZÜM:

x yerine π/2 yazarsak 0/0 belirsizliği olur.

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{\pi }} \over 2}} {{{\rm{1 - sinx}}} \over {{\rm{1 + cos2x}}}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{\pi }} \over 2}} {{{\rm{1 - sinx}}} \over {{\rm{1 + 2co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x - 1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{\pi }} \over 2}} {{{\rm{1 - sinx}}} \over {{\rm{2co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}}}$$

$$ = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{\pi }} \over 2}} {{{\rm{(1 - sinx)}}{\rm{.(1 + sinx)}}} \over {{\rm{(2co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x)}}{\rm{.(1 + sinx)}}}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{\pi }} \over 2}} {{{\rm{1 - si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}} \over {{\rm{(2co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x)}}{\rm{.(1 + sinx)}}}}$$

$$ = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{\pi }} \over 2}} {{{\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}} \over {{\rm{2co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}{\rm{.(1 + sinx)}}}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{\pi }} \over 2}} {{\rm{1}} \over {{\rm{2}}{\rm{.(1 + sinx)}}}}$$

$$ = {{\rm{1}} \over {{\rm{2}}{\rm{.(1 + 1)}}}} = {{\rm{1}} \over {\rm{4}}}$$

NOT:

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 0} {{{\rm{sinx}}} \over {\rm{x}}} = 1$$

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 0} {{{\rm{tanx}}} \over {\rm{x}}} = 1$$

NOT: Köklü ifadelerde limit alınırken 0/0 belirsizliği çıkarsa, pay ve payda köklü ifadenin eşleneği ile çarpılır.

n ∈ N olmak üzere,

f(x) = a_nxⁿ + a_n–1x^n–1 + ...... + a₁x + a₀    polinom fonksiyonunda,

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to  - \infty } {\rm{f(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to  - \infty } {\rm{(}}{{\rm{a}}_{\rm{n}}}{{\rm{x}}^{\rm{n}}}{\rm{)}}$$

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to  + \infty } {\rm{f(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to  + \infty } {\rm{(}}{{\rm{a}}_{\rm{n}}}{{\rm{x}}^{\rm{n}}}{\rm{)}}$$

m, n ∈ N olmak üzere,

$${\rm{f(x)}} = {{{{\rm{a}}_{\rm{n}}}{{\rm{x}}^{\rm{n}}} + {{\rm{a}}_{{\rm{n - 1}}}}{{\rm{x}}^{{\rm{n - 1}}}} + ..... + {{\rm{a}}_1}{{\rm{x}}^1} + {{\rm{a}}_0}} \over {{{\rm{b}}_{\rm{m}}}{{\rm{x}}^{\rm{m}}} + {{\rm{b}}_{{\rm{m - 1}}}}{{\rm{x}}^{{\rm{m - 1}}}} + ..... + {{\rm{b}}_1}{{\rm{x}}^1} + {{\rm{b}}_0}}}$$

SONUÇ:

ÖRNEK:

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to \infty } {{8{\rm{x}} + \sqrt {{{\rm{x}}^{\rm{2}}} - 5{\rm{x}} + 1} } \over {3x + 7}} = ?$$

ÇÖZÜM:

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to \infty } {{8{\rm{x}} + \sqrt {{{\rm{x}}^{\rm{2}}}(1 - {5 \over {\rm{x}}} + {1 \over {{{\rm{x}}^2}}})} } \over {3{\rm{x}} + 7}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to \infty } {{8{\rm{x}} + {\rm{x}}\sqrt {1 - {5 \over {\rm{x}}} + {1 \over {{{\rm{x}}^2}}}} } \over {3{\rm{x}} + 7}}$$

$$ = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to \infty } {{8{\rm{x}} + {\rm{x}}} \over {3{\rm{x}} + 7}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to \infty } {{9{\rm{x}}} \over {3{\rm{x}} + 7}} = {9 \over 3} = 3$$

ÖRNEK:

$$\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to \infty } {{{{\rm{x}}^{\rm{2}}} - 1} \over {5 + 4{{\rm{x}}^3}}} = ?$$

ÇÖZÜM:

$$ = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to \infty } {{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}(1 - {1 \over {{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}})} \over {{{\rm{x}}^3}({5 \over {{{\rm{x}}^3}}} + 4)}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to \infty } {{(1 - {1 \over {{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}})} \over {{\rm{x}}({5 \over {{{\rm{x}}^3}}} + 4)}} = $$

$$ = {{1 - 0} \over {\infty (0 + 4)}} = {1 \over \infty } = 0$$

SORULAR

12.Sınıf Matematik Fonksiyonların Limitleri, Belirsizlikler ve Süreklilik Online Testi 1