KÜMELER
Kümenin
Tanımı
Kümeyi, iyi tanımlanmış, birbirinden farklı nesneler
topluluğu olarak açıklayabiliriz.
Kümeyi oluşturan nesneler canlı
varlıklar olabileceği gibi, cansız varlıklar, sayılar veya şekiller
de olabilir.
Kümeyi oluşturan nesnelere o kümenin elemanı denir.
Kümeler, genellikle A, B, C,
.... gibi büyük
harflerle, ancak bir sembol veya özel bir isim gibi farklı şekillerde de adlandırılabilirler.
Kümenin elemanları da a, b, c, x, y, ... gibi küçük harflerle gösterilir.
a bir A kümesinin elemanı
ise a ∈
A biçiminde gösterilir. Eğer b, A kümesinin elemanı değilse,
b ∉
A biçiminde gösterilir.
Örnek: D kümesi “A ile başlayan aylar” olsun. D
kümesinin elemanlarını ve bu kümeye ait olmayan bazı elemanları belirtelim.
“Ağustos ve Aralık” D kümesinin
elemanlarıdır.
Ağustos ∈ D ve Aralık
∈ D şeklinde gösterilir.
Ocak ∉ D, haziran ∉ D, Temmuz ∉ D ise D kümesine ait
olmayan bazı elemanları göstermektedir.
Herhangi bir A kümesinin eleman
sayısı s(A) ile gösterilir.
Birbirinden farklı nesnelerin
kümeyi oluşturmasından dolayı, nesnelerin küme içinde tekrar etmesi durumunda
bunlar arasında bir eşlik olduğunu varsayarak nesnelerin tekrarsız olmasını kabul ederiz.
Yani bir
eleman kümeye bir defa yazılır.
Örnek: GEOMETRİ
kelimesinin harflerinden oluşan küme B olsun.
Buna göre B = {G,E,O,M,T,R,İ} ve s(B)
= 7'dir.
Fazla Bilgi Göz Çıkarmaz: Küme terimini matematiksel bir kavram olarak ilk kullanan Georg Cantor
(1845 –1918), kümeyi iyi tanımlanmış birbirinden farklı nesneler topluluğu
olarak tanımlamıştır.
Aşağıdaki
ifadeler küme belirtmez.
A)
1, 7, 9, 2, 6 rakamlarından bazıları
B) Bazı
renkler
C) Stadyumdaki
bazı taraftarlar
D) Kolay sorular
E) Yakışıklı
erkekler
F) Türkiye’deki
en güzel şehirler
G) Okulumuzdaki
başarılı öğrenciler
Kümeler için yaygın olarak
kullanılan 3
gösterim yöntemi vardır:
• Liste
yöntemi
• Ortak
özellik yöntemi
• Venn
Şeması yöntemi
Liste Yöntemi: Kümenin tüm
elemanlarının aralarına virgül konularak küme parantezi içine yazılmasıdır.
Bu
yöntemde, kümenin elemanları liste şeklinde herhangi bir sırayla verilir.
Listenin başladığını belirtmek için
açan küme parantezi “ { ”, bittiğini belirtmek için de kapatan küme parantezi “
} ” kullanılır.
Örnek: C = {0, 1,
2, 3, 4, 5, 6} şeklindeki gösterim liste yöntemidir.
Örnek: A = {k, m,
p, {k, n}} veriliyor. Buna göre s(A) kaçtır?
A kümesinin
elemanları k, m, p ve {k, n} dir.
Dolayısıyla
s(A) = 4'tür.
Bu örnekten de anlaşılacağı gibi bir küme başka
bir kümenin elemanı olabilir.
Örnek: Bir
basamaklı 3’ün katı olan sayılar kümesi {3, 6, 9} biçiminde gösterilir.
Örnek: A = {1, 3,
4, 6, 8} kümesine göre,
3, A kümesinin elemanı olduğu için 3
∈ A
9, A kümesinin elemanı olmadığı
için 9 ∉ A olur.
Ortak Özellik Yöntemi: Bir kümenin elemanlarının ortak
özellikleriyle gösterim şekline “ortak özellik yöntemi” adı verilir.
Bu yöntemin kullanılması için
kümeyi oluşturan elemanların ortak özelliklerinin olması gerekmektedir.
BİLGİ KUTUSU: “ | ” ve “ : ” sembolleri
birbirlerinin yerine kullanılabilir ve “öyle ki” anlamına gelmektedir.
{x : x elemanlarının ortak
özellikleri } veya {x | x elemanlarının ortak özellikleri } biçimlerinde
kümeler yazılabilir. Bu yazılışta kümenin elemanları x harfi ile
gösterilmiştir.
Örnek: A kümesi –5'ten
büyük ve 7'den küçük tamsayılardan oluşsun. A kümesini ortak özellik yöntemiyle
A = {x | –5 < x < 7 ve x ∈ Z} şeklinde
gösteririz;
“A kümesi x elemanlarından oluşur
öyle ki x ler –5'ten büyük, 7'den küçük tamsayılardır” şeklinde okuruz.
Örnek: Bir
basamaklı asal sayılar kümesi
A = { x : x asal sayı ve x < 10
} biçiminde gösterilebilir.
Ortak özellik yöntemiyle
gösterimde, verilen bir kümenin elemanlarının sağlamasını istediğimiz şartlar gerektiğinde
sözel bir şekilde, gerektiğinde matematiksel bir ifadeyle verilebilir.
Örnek: Malatya
ilinin ilçelerinin oluşturduğu küme ortak özellik yöntemiyle A = {x | x, Malatya
ilinin bir ilçesidir} biçiminde yazılır.
Örnek: A = {x :
x, Rakamlar} şeklindeki gösterim bize yukarıda yazdığımız elemanları
çağrıştırmaktadır.
Bu kümeyi A = {x : x,doğal sayıların
ilk on elemanı} şeklinde de ifade edebiliriz.
Venn Şeması İle Gösterim: Kümenin elemanlarının kapalı bir
eğri içerisinde her bir elemanının önüne “ • ” konularak yazılmasına “Venn şeması
yöntemi” adı verilir.
Örnek: MALATYA
kelimesinin harflerinden oluşan kümenin elemanlarını Venn şeması ile yazalım.
Kümenin adı K kümesi olsun.
Kelime içerisindeki A harfi birden
fazla tekrar etmesine rağmen küme içerisinde sadece bir kez yazılmıştır.
Örnek: A = {2, 3, 5, 7 } kümesini aşağıdaki Venn
diagramlarından herhangi biri ile veya benzeri bir biçimde gösterebiliriz.
SORULAR
1- Aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi bir küme
belirtir?
I. İyi yüzücüler II. Yaramaz çocuklar
III. Gözlüklü öğrenciler IV. Kumral kızlar
V. Zor sorular
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E)
1
2- D = {a,b, {a},c,{a,b},5} olduğuna göre s(D)
kaçtır?
A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E)
6
3- K = {0,7,5,g,e} kümesini Venn şeması ile
gösteriniz.
4- A = {x : x < 5, x ∈ N}
kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E)
6
5- 10 ile 34 arasındaki asal sayıların
kümesini liste yöntemiyle, Venn şemasıyla ve ortak özellik yöntemiyle yazınız.
6- Aşağıdaki toplulukların küme oluşturup
oluşturmadıklarını belirtiniz.
a.
En kötü dersler b. Muş’a komşu olan iller
c.
Alfabemizdeki yumuşak ünsüzler
7- B = {x | x2 = 16 ve x bir
tamsayı} kümesini liste yöntemi ile gösteriniz.
8- Aşağıda liste biçiminde gösterilen
kümeleri ortak özellik yöntemiyle yazınız.
a.
A = {1, 2, 3, 4, 5 } b. B = {Pazar, Cumartesi}
c.
C = {0, 2, 4, 6, 8} d. D = {a,
e, ı, i, o, ö, s, ş, u, ü }
9- Aşağıdaki kümelerin eleman sayılarını
bulunuz.
a.
A = { m, {k, r } , {n} , h } b. B
= {x : x ∈ Z+
ve x < 7 }
c. C = {∅} d. D
= {x : x ∈ R x2
≥ 0 }
e. D = {x : x
∈ R , x2
= –1 }
10- B = {k, f, {b, c } , {d} , e } kümesine göre
aşağıdaki noktalı yerlere “∈ ” veya “∉ ”
sembollerinden uygun olanları yerleştiriniz.
a. k ......... B b. {f}
......... B
c. {f, c} ......... B d. d ......... B
9.Sınıf Matematik Küme Kavramı ve Kümenin Gösterim Biçimleri Online Test 1
Hiç yorum yok:
yorum