BİLEŞİK ÖNERMELER
İki ya da daha fazla önermenin “ve” ∧, “veya” Ú, “ya da”, “ise” ⇒, “ancak ve ancak” Û gibi
bağlaçlarla birbirine bağlanması ile elde edilen önermelere bileşik
önerme denir.
veya (Ú)
Bağlacı ile Kurulan Bileşik Önermeler
p ile q önermelerinin “veya” bağlacı
ile bağlanmasından oluşan birleşik önermeye,
p veya
q bileşik önermesi denir ve “pÚq” biçiminde gösterilir. Veya “Ú” sembolü ile gösterilir.
Örnek: p:
“Bugün işe gideceğim.” ile q: “Bugün dayıma gideceğim.” önermelerini
"veya" bağlacını kullanarak bileşik önerme yazalım.
p ve q önermelerini veya bağlacıyla
birbirine bağlayarak “Bugün işe veya dayıma gideceğim.” bileşik önermesi
yazılır.
Veya bağlacı ile bağlanmış iki
önermenin oluşturduğu bileşik önerme, her iki önermenin de yanlış olduğu
durumda yanlış, diğer durumlarda doğrudur.
p veya q önermeleri için pÚq önermesinin doğruluk değerleri tablosu aşağıda
gösterilmiştir.
p
|
q
|
pÚq
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
Örnek: Hesabı
Umut veya Kerem ödemiştir.
Her ikisi de ödemiş olabilir (1) ,
umut tek başına ödemiş olabilir (1), Kerem tek başına ödemiş olabilir. (1)
Hesabı ikisi de ödememiştir. (0)
ve (∧) Bağlacı ile Kurulan Bileşik
Önermeler
p ile q önermelerinin “ve” bağlacı ile
bağlanmasından oluşan birleşik önermeye,
p ve
q bileşik önermesi denir ve “p∧q” biçiminde
gösterilir. Ve “∧” sembolü ile gösterilir.
Ve bağlacı ile bağlanmış iki önermenin
oluşturduğu bileşik önerme, her iki önermenin de doğru olduğu durumda doğru,
diğer durumlarda yanlıştır.
p ve q önermeleri için p∧q önermesinin
doğruluk değerleri tablosu aşağıda gösterilmiştir.
p
|
q
|
p∧q
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
Örnek: Ali
ve Can 9. sınıf öğrencileridir.
Ali’nin tek başına (0) , Can’ın tek
başına (0) , her ikisinin de birlikte 9. Sınıftan farklı sınıfta (0) olması
yanlıştır.
Her ikisinin 9.Sınıf öğrencisi olması
ise (1) doğrudur.
Örnek: (pÚq)’∧r ≡1 olduğuna göre p, q ve r
önermelerinin doğruluk değerlerini bulalım.
(pÚq)’∧r ≡1 olup (pÚq)’
ve r önermeleri doğruluk değerinden dolayı (1)’e eşittir.
(pÚq)’≡1 ve r ≡1 dir.
[(pÚq)’]’≡1’
pÚq≡0 olup p≡0 , q≡0
olur.
“veya” ve “ve”
Bağlaçları İle Kurulan Bileşik Önermelerin Özellikleri
1. Tek Kuvvet Özelliği
Her p önermesi için pÚp≡p ve p∧p≡p dir.
2. Değişme Özelliği
Her p, q önermeleri için pÚq≡qÚp ve p∧q≡q∧p dir.
3. Birleşme Özelliği
Her p, q, r önermesi için (pÚq)Úr≡pÚ (qÚr)
ve (p∧q)∧r≡p∧ (q∧r) dir.
4. Dağılma Özelliği
“ve”nin “veya” üzerine soldan
dağılma özelliği
Her p, q, r önermesi için p∧(qÚr) ≡ (p∧q) Ú (p∧r)
dir.
“ve”nin “veya” üzerine sağdan
dağılma özelliği
Her p, q, r önermeleri için (qÚr)∧p
≡ (q∧p) Ú (r∧p)
dir.
“veya”nın “ve” üzerine soldan
dağılma özelliği
Her p, q, r önermesi için pÚ(q∧r) ≡ (pÚq) ∧
(pÚr) dir.
“veya”nın “ve” üzerine sağdan
dağılma özelliği
Her p, q, r önermeleri için (q∧r)Úp
≡ (qÚp) ∧
(rÚp) dir.
ya da “Q”
Bağlacı İle Kurulan Bileşik Önermeler
p ile q önermelerinin “ya da” bağlacı
ile bağlanmasından oluşan birleşik önermeye,
p ya
da q bileşik önermesi denir ve “pQq” biçiminde gösterilir. Ya da “∧” sembolü ile
gösterilir.
Ya da bağlacı ile oluşturulmuş bileşik
önerme, her iki önermenin aynı olduğu durumlarda yanlış, diğer durumlarda
doğrudur.
p ve q önermeleri için pQq
önermesinin doğruluk değerleri tablosu aşağıda gösterilmiştir.
p
|
q
|
pQq
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
Örnek: Hesabı
Umut ya da Kerem ödemiştir.
Her ikisi de ödemiş olabilir (0) ,
umut tek başına ödemiş olabilir (1),
Kerem tek başına ödemiş olabilir. (1) Hesabı ikisi de ödememiştir. (0)
“ya da” bağlacının değişme özelliği vardır.
Her p, q önermesi için p Q q / q Q p dir.
“ya da” bağlacının Birleşme Özelliği vardır
Her p, q, r önermesi için (p Q q) Q r / p Q (q Q r) dir.
Özellik 1: pQ1/p’
Özellik 2: pQp/0
Özellik 3: pQ0/p’
De Morgan Kuralları
(pÚq)’/p’∧q’ ve (p∧q)’/p’Úq’ bu iki kurala
De Morgan kuralları denir.
Örnek: [(pÚq’)∧(pÚq’)]’ önermesini sadeleştirelim.
De Morgan kuralı uygulayalım.
[(pÚq’)∧(pÚq’)]’/(pÚq’)’Ú(pÚq’)’
/(p’∧q)Ú(p’∧q)
olup tek kuvvet özelliğine göre, p’∧q olur.
